Algèbre : Les suites arithmétiques et géométriques - Spécialité

Soit \((u_n)\), la suite définie par \[ (u_n) : \begin{cases} u_0 = 8 \\ \forall n \geq 0, u_{n+1} = 2u_n \end{cases} \] Calculer la somme suivante, \[ u_{1} + u_{2} + ... + u_{21} \]

Soit \((u_n)\), la suite définie par \[ (u_n) : \begin{cases} u_0 = 9 \\ \forall n \geq 0, u_{n+1} = \dfrac{1}{10}u_n \end{cases} \] Calculer \(u_0 + u_1 + u_2 + ... u_{19}\).

Soit \((v_n)\), la suite définie par \[ (u_n) : \begin{cases} u_0 = 3 \\ \forall \text{n entier}, n \geq 0, u_{n+1} = \frac{1}{5}u_n \end{cases} \] \[ (v_n) : v_n = u_0 + u_1 + ... + u_n \] Exprimer \(v_n\) en fonction de n.

On s'intéresse au loyer d'un appartement. Le loyer annuel coûte \( 7500 \) euros à l’entrée dans les lieux en \( 2005 \).

Chaque année, le loyer annuel augmente de \( 2,1 \) %.
On modélise le prix des loyers annuels par une suite numérique géométrique (\( v_n \)).
On note \( v_0 \) le loyer annuel (en euros) payé en \( 2005 \).
Étant donné un entier naturel \( n \), on note \( v_n \), le prix du loyer annuel (en euros) pendant l’année (\( 2005 + n \)).
On a donc le premier terme \( v_{0} = 7500 \) euros.

Calculer le terme \( v_{7} \) correspondant à l’année \( 2012 \).
On donnera une réponse à l’unité près et suivie de l'unité qui convient.

Calculer la somme des \( 8 \) premiers loyers annuels.
On donnera une réponse à l’unité près et suivie de l'unité qui convient.

Soit \((v_n)\), la suite définie par \[ (u_n) : \begin{cases} u_0 = 8 \\ \forall n \geq 0, u_{n+1} = \frac{3}{5}u_n \end{cases} \] \[ (v_n) : v_n = \sum_{k=0}^{n} u_k \] Exprimer \(v_n\) en fonction de n.